Un invariant p-adique d'ordre supérieur à la congruence de Glaisher et les premiers de Glaisher au sens étroit

Glaisher (1900) a établi que pour tout premier p ≥ 5, la somme harmonique H_{p-1} := sum_{k=1}^{p-1} 1/k vérifie H_{p-1} ≡ -p² · B_{p-3}/3 (mod p³). Cette congruence ne se relève pas, en général, à p^4. Nous définissons l'invariant p-adique X(p) := (H_{p-1} + p² B_{p-3}/3) / p^3 (mod p) et calculons X(p) pour les 44 premiers de Glaisher 5 ≤ p ≤ 199. Nous identifions deux premiers de Glaisher au sens étroit (X(p) = 0) parmi p ≤ 199 : p = 17 et p = 59. Ces deux premiers ne sont pas des premiers de Wolstenholme (vérification directe sur les coefficients binomiaux centraux). Le résultat principal est le théorème : 2 X(p) + Y(p) ≡ 0 (mod p) pour tout p ≥ 7, où Y(p) est l'analogue de X(p) pour la somme harmonique…